El Problema de Monty Hall

Este es un clásico problema que aparecía en el programa "Let's make a deal" (Hagamos un trato) cuyo presentador se llamaba Monty Hall.
Al final del concurso, se le proponía al participante elegir entre 3 puertas:

Detrás de una de las puertas hay un coche, pero en las otras dos puertas hay una cabra (por lo que en total, hay un coche y dos cabras).
Una vez que el concursante ha tomado su decisión, el presentador, que sabe donde se encuentra el coche, abre una de las dos puertas restantes para mostrarle al concursante donde estaba una de las cabras. Este punto es importante, porque Monty Hall no abría una puerta al azar, sino que abría una en la que se encontrara una cabra.

En la imagen, se ha elegido la puerta 3.
El presentador abre la puerta 1
y muestra que ahí había una cabra.

Ahora Monty Hall preguntaba:

¿Quieres cambiar de puerta?

La pregunta de verdad es: ¿Eso importa?

1. ¿Es más probable ganar al quedarse con la puerta?
2. ¿Es más probable ganar al cambiar de puerta?
3. ¿Da exactamente igual que puerta elija?

Lo que se ha visto es que la mayor parte de las personas eligen quedarse con la puerta inicial.
Muchos piensan que la primera elección es más probable de ser la ganadora, ya que al ver que había una cabra en otra de las puertas, es más probable haber acertado y haber elegido la puerta con el coche.
Otras personas piensan que da exactamente igual, que como quedan dos puertas, la probabilidad de ganar es 50%, y por tanto da igual quedarse con la puerta, o cambiarla.
En cualquier caso, todas esas personas están equivocadas. Es más probable acertar la puerta que tiene un coche si cambiamos de puerta, que si nos quedamos con la misma.
Explicación:

Cuando hemos elegido una puerta, tenemos un 33.3% de probabilidad de ganar (1 de 3). O lo que es lo mismo, un 66.6% de perder.
Por tanto, qué es más probable, ¿haber elegido una coche? ¿o haber elegido una cabra? La respuesta es evidente, es más probable haber elegido la cabra.
Una vez que el presentador nos enseña donde estaba una de las cabras, y nos da la opción de cambiar, nos está dando la oportunidad de duplicar la probabilidad de ganar.
Si nos quedamos con la puerta inicial, seguimos conservando la probabilidad inicial de ganar con un 33.3% de probabilidad, o lo que sería lo mismo, jugar como si no hubiéramos tenido la oportunidad de cambiar.
La otra puerta pasa a tener una probabilidad de un 66.6% de ser el coche, ya que pasa a tener el peso de dos puertas.
Como era más probable haber elegido una cabra inicialmente, es más probable ahora que el coche esté en la puerta que queda cerrada.

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Otra forma más exagerada de ver este problema, es cambiando el número de puertas.
Imagina que el presentador nos muestra 10 puertas, en una hay un coche, y detrás de cada otra puerta hay una cabra (1 coche, y 9 cabras).
Elegimos una puerta, y el presentador abre todas las puertas restantes menos una, enseñándonos 8 cabras.
Por tanto quedan dos puertas cerradas, la que hemos elegido, y la que queda cerrada.
¿Qué es más probable, que el coche esté en nuestra puerta, o en la puerta que queda cerrada?
Evidentemente, es más probable que hayamos elegido una puerta con una cabra (90% de probabilidad de perder). Pero ahora nos dan a elegir, y si cambiamos de puerta, es más probable que el coche esté en la otra puerta, y que la cabra esté en la que habíamos elegido.
En este caso concreto del problema, no estamos duplicando la probabilidad de ganar si cambiamos la puerta, la estamos decuplicando.

Sencillamente. !!Estaremos permitiendo que las matematicas metan su culo en coche nuevo¡¡